②を求めよう

 

こんにちは
ここ数ヶ月で東京までを6往復しているいしかずです.

今回の記事はイケイケでナウナウな技術日記でもなくアドベントカレンダーでもなく…またもやただのプチ巨大数講座です.円周率の日中に投稿しようと思いましたが何とか間に合いました.
(前回の記事を見ていない方は「もっとみる」の後にリンクが貼られていると思うのでそちらをご覧ください.今回の記事もバリバリそちらの記事の知識を使います.)
このままシリーズ化しそうな勢いですが,たぶんしません.たぶん.
ちょっとした勉強(?)や交通機関の移動中での暇つぶし等で読んでいただければ幸いです.
サムネが某ニコニコ動画の解説動画みたいな感じになってるのは気にしないでください.

さて,前回?の記事ではハイパー演算子とグラハム数について記述しましたが,
今回の記事は,タイトル通り「②」を求めます.何を求めるのかというと,大きさです.
テストでも使われているこの記号は,実は数学記号なのです!
「お前は何を言っているんだ」って人がほとんどだと思う(はず)ので,まずは多角形表記について説明します.

多角形表記ってなあに

多角形表記とは,△や□の中に数字を入れていくことで表記されるものです.

まず最初に,△の中に任意の数が入った時の定義を見てみましょう.これらは,一般化するとのように表記します.

は以下のように定義されます.

これだとあまりピンとこない方も多いと思うので,nに好きな自然数を入れて実際に計算してみましょう.
nに2と3を代入し,計算すると以下のようになります.

InkscapeってWordより遥かにやりやすいですね
これでだいたい△の計算方法がざっくりわかっていただけたかと思います.

ここで,変態な方はこんな疑問を抱くことがあるかもしれません.

「△の中にとか入れられないの?」

つまりこういうことです.

もちろん可能です.
上記の記号は,以下のように計算することができます.

    (乗)

少し醜いですが,先程と同様な形で計算できます.
これを応用することにより,△はいくらでも重ねることができます.
ただし,何重にも重ねた場合,中から順番に計算していきます.非常に重要なのでそこだけ覚えておいてください.

続いて,□の中に数が入った時について話していきます.これらを一般化するとのように表記します.
は以下のように定義されます.

   (n重に△が重なった中にnが入る)

「は?」
となる方も多いと思います.なのでここでいったん実際に計算してみましょう.

まずはnに2を代入し計算してみます.
これは2重に△が重なっている中の2,つまり
    (2重に△が重なっている中に2が入っている)
ということになります.したがって,先程のの計算方法を用いて

と計算することができます.

nに3を入れた場合は,3重に△を重ね3を中に入れればよいので,
    (3重に△が重なっている中に3が入っている)
ということになります.
先程,中から順に計算していくということを言ったと思いますので,中から計算していきます.
ここでも,先程と同様の計算方法を用いています.

ここで,早速でてきました.27の27乗とかいう数!
これはおおよそ4.43*1038とかいう馬鹿でかい数です.
しかし,これはまだ△のついた前段階にすぎません.というわけで続きを計算してみましょう.

実際に計算するとこのようになりますが,ここで高校数学の知識を活用します.
以下のような公式があったのを覚えていますでしょうか.

この公式を利用し先程の式を整理すると,

という風に簡単にすることができます.

これでようやくnに3が入った時のを求めることができました.
ここでlogを取ってみるとわかると思いますが,上記の数は約1正7137澗(1.7137×1040)あります.大きいですね.
次は,とうとう本題である②の一般化した形である〇の話に入っていきます.これらを一般化するとのように表記します.

は以下のように定義されます.
    (n重に重なった□にnが入る)

ここでこういう疑問を抱く人もいると思います.
「五角形は?」
実は今紹介しているものはスタインハウスの多角形表記と呼ばれているものです.そこでは五角形は存在しません.
のちにモーザーの多角形表記というものが登場するのですが,そこでスタインハウスの多角形表記の拡張版として五角形,六角形,七角形,…,n角形が登場します.

さて,ここから②を求めていきます.(②は変換すれば出てくるのでいいですね)
まず,②は2つ重なった□の中に2が入る数なので,以下のように変換できます.

嫌な予感しかしなくなってきましたね.
先程求めた通り,=256なので以下のようになります.

右端の数は,変換すると「256重に重なった△の中に256が入った数」になります.
計算していきましょう.
いきなり答えを出すのは流石にゴリラなので,一つずつ段階を踏んで計算します.

一番最初の△の中に256が入った数は,256256なので簡単に表せます.
続いて,2個重なった△の中に256が入った数を計算すると,以下のようになります.

大きいですね.(関数電卓では計算不可能な桁数)
(ここからは図を描くのもすごいめんどくさいので手書きで説明します)
3個重なった△の中に256が入った数は以下のようになります.

ここで,またもや高校数学で習った公式を用いて整理します

すると,以下のように整理することができます.

上の式の2行目のところで変換を行っています.
が,そこでかなり大雑把な近似がなされています.

256257×256256257=256(257+256257)を行っているのですが,その(257+256257)において,256257に257を足しても対して差が生まれないというかなりざっくりとした理由により,257がなかったことにされ上のように近似されています.しかし,近似したとはいえ元の数値との差は超莫大なのでそこはご了承ください.
次は4段階目です.先程近似したものを利用して計算します.

この2行目でも同様,256256257に256257を足してもそれほど変化しないため,256257はなかったことにされ近似されています.
ここで,パターンを見つけられた方は勘が鋭いか天才か変態かのいずれかです.
そうです,「△がn重に重なった中に256が入った数」は,「256をn個重ねた上に257がつく数」に近似できる
ということなります.ただしあくまで近似したものということを忘れないでください.

このパターンを見つけてしまえば,ようやく②が求まりそうです.
②は△が256重に重なった中に256が入った数でした.
つまり,下図のように,256が256個重なった上に257が来る数
という風に近似できます.

また,この一番上の257を256にして,256↑↑257なんて近似することも可能です.
近似するとはいえその差は莫大ですが(

はい,これでようやく②が求まりましたね.
この②は,「メガ」とも呼ばれています.

最後に,
②円欲しい!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!最後までお読みいただきありがとうございました。
(この世には⑨と呼ばれているキャラクターもいるらしいです.気になった方はその大きさを求めてみるのも楽しいかもしれません.)
では私は時間がない(あと2時間で出発)のでこの辺で失礼します.お疲れ様でした.


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